Il numeri immaginari sono quelli che danno una soluzione all'equazione in cui l'ignoto, al quadrato, è uguale a un numero reale negativo. L'unità immaginaria è i = √ (-1).
Nell'equazione: zDue= - a, z è un numero immaginario che si esprime come segue:
z = √ (-a) = i√ (a)
Essere per un numero reale positivo. sì a = 1, poi z = i, dove io è l'unità immaginaria.
In generale, un numero immaginario puro z è sempre espresso nella forma:
z = y⋅i
Dove Y è un numero reale e io è l'unità immaginaria.
Proprio come i numeri reali sono rappresentati su una linea, chiamata vero dritto, in modo analogo i numeri immaginari sono rappresentati sul linea immaginaria.
Il linea immaginaria è sempre ortogonale (forma a 90º) al vero dritto e le due linee definiscono un piano cartesiano chiamato piano complesso.
Nella figura 1 è mostrato il piano complesso e su di esso sono rappresentati alcuni numeri reali, alcuni numeri immaginari e anche alcuni numeri complessi:
X1, XDue, X3 sono numeri reali
Y1, YDue, Y3 sono numeri immaginari
ZDue e Z3 sono numeri complessi
Il numero O è lo zero reale ed è anche lo zero immaginario, quindi l'origine O è lo zero complesso espresso da:
0 + 0i
Indice articolo
L'insieme dei numeri immaginari è indicato da:
I = …, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i,…
E puoi definire alcune operazioni su questo insieme numerico. Un numero immaginario non si ottiene sempre da queste operazioni, quindi esaminiamole un po 'più in dettaglio:
I numeri immaginari possono essere aggiunti e sottratti l'uno dall'altro, ottenendo un nuovo numero immaginario. Per esempio:
3i + 2i = 5i
4i - 7i = -3i
Quando si crea il prodotto di un numero immaginario con un altro, il risultato è un numero reale. Facciamo la seguente operazione per verificarlo:
2i x 3i = 6 x iDue = 6 x (√ (-1))Due = 6 x (-1) = -6.
E come possiamo vedere, -6 è un numero reale, sebbene sia stato ottenuto moltiplicando due numeri immaginari puri.
Se un numero reale viene moltiplicato per i, il risultato sarà un numero immaginario, che corrisponde a una rotazione di 90 gradi in senso antiorario.
Ed è che ioDue corrisponde a due rotazioni consecutive di 90 gradi, che equivale a moltiplicare per -1, cioè iDue = -1. Può essere visto nel diagramma seguente:
Per esempio:
-3 x 5i = -15i
-3 x i = -3i.
Puoi definire il potenziamento di un numero immaginario in un esponente intero:
io1 = i
ioDue = io x io = √ (-1) x √ (-1) = -1
io3 = io x iDue = -i
io4 = iDue x iDue = -1 x -1 = 1
io5 = i x i4 = i
In generale devi ion = i ^ (n mod 4), dove mod è il resto della divisione tra n Y 4.
Il potenziamento intero negativo può essere eseguito anche:
io-1 = 1 / i1 = io / (io x io1) = i / (iDue) = i / (-1) = -i
io-Due = 1 / iDue = 1 / (-1) = -1
io-3= 1 / i3 = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 x i-1 = (-1) x (-i) = i
In generale, il numero immaginario b⋅i elevato alla potenza n è:
(b⋅i) in = bn ion = bn io ^ (n mod 4)
Alcuni esempi sono i seguenti:
(5 i)12 = 512 io12 = 512 io0 = 512 x 1 = 244140625
(5 i)undici = 5undici ioundici = 5undici io3 = 5undici x (-i) = -48828125 i
(-2 i)10 = -210 io10 = 210 ioDue = 1024 x (-1) = -1024
Quando aggiungi un numero reale con uno immaginario, il risultato non è né reale né immaginario, è un nuovo tipo di numero chiamato numero complesso.
Ad esempio, se X = 3.5 e Y = 3.75i, il risultato è il numero complesso:
Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i
Nota che nella somma le parti reale e immaginaria non possono essere raggruppate insieme, quindi un numero complesso avrà sempre una parte reale e una parte immaginaria..
Questa operazione estende l'insieme dei numeri reali al più ampio dei numeri complessi.
Il nome dei numeri immaginari fu proposto dal matematico francese René Descartes (1596-1650) come presa in giro o disaccordo con la proposta degli stessi fatta dal matematico italiano del secolo Raffaelle Bombelli.
Altri grandi matematici, come Eulero e Leibniz, sostenevano Descartes in questo disaccordo e chiamavano numeri immaginari numeri anfibi, che erano combattuti tra l'essere e il niente.
Il nome dei numeri immaginari rimane ancora oggi, ma la loro esistenza e importanza è molto reale e palpabile, poiché compaiono naturalmente in molti campi della fisica come:
-La teoria della relatività.
-Nell'elettromagnetismo.
-Meccanica quantistica.
Trova le soluzioni della seguente equazione:
zDue + 16 = 0
zDue = -16
Prendendo la radice quadrata in entrambi i membri abbiamo:
√ (zDue ) = √ (-16)
± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i
In altre parole, le soluzioni dell'equazione originale sono:
z = + 4i oppure z = -4i.
Trova il risultato dell'innalzamento dell'unità immaginaria alla potenza 5 meno la sottrazione dell'unità immaginaria elevata alla potenza -5.
io5 - io-5 = i5 - 1 / i5 = i - 1 / i = i - (i) / (i x i) = i - i / (- 1) = i + i = 2i
Trova il risultato della seguente operazione:
(3i)3 + 9i
33 io3 - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i
Trova le soluzioni della seguente equazione quadratica:
(-2x)Due + 2 = 0
L'equazione è riorganizzata come segue:
(-2x)Due = -2
Quindi viene presa la radice quadrata di entrambi i membri
√ ((- 2x)Due) = √ (-2)
± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 io
Quindi risolviamo per x per ottenere finalmente:
x = ± √2 / 2 i
Cioè, ci sono due possibili soluzioni:
x = (√2 / 2) i
O quest'altro:
x = - (√2 / 2) i
Trova il valore di Z definito da:
Z = √ (-9) √ (-4) + 7
Sappiamo che la radice quadrata di un numero reale negativo è un numero immaginario, ad esempio √ (-9) è uguale a √ (9) x √ (-1) = 3i.
D'altra parte, √ (-4) è uguale a √ (4) x √ (-1) = 2i.
Quindi l'equazione originale può essere sostituita da:
3i x 2i - 7 = 6 iDue - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13
Trova il valore di Z risultante dalla seguente divisione di due numeri complessi:
Z = (9 - iDue) / (3 + i)
Il numeratore dell'espressione può essere scomposto utilizzando la seguente proprietà:
Una differenza di quadrati è il prodotto della somma e della differenza dei binomi senza quadrato.
Poi:
Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)
L'espressione risultante viene quindi semplificata, lasciando
Z = (3 - i)
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