Il Numero di Eulero o numero e è una ben nota costante matematica che appare frequentemente in numerose applicazioni scientifiche ed economiche, insieme al numero π e ad altri numeri importanti in matematica.
Una calcolatrice scientifica restituisce il seguente valore per il numero e:
e = 2,718281828 ...
Ma sono noti molti altri decimali, ad esempio:
e = 2,71828182845904523536 ...
E i computer moderni hanno trovato trilioni di cifre decimali per il numero e.
È un numero irrazionale, il che significa che ha un numero infinito di cifre decimali senza alcun motivo ripetitivo (la sequenza 1828 appare due volte all'inizio e non si ripete più).
E significa anche che il numero e non può essere ottenuto come quoziente di due numeri interi.
Indice articolo
Il numero e Fu identificato dallo scienziato Jacques Bernoulli nel 1683 quando stava studiando il problema dell'interesse composto, ma in precedenza era apparso indirettamente nelle opere del matematico scozzese John Napier, che inventò i logaritmi intorno al 1618.
Tuttavia, fu Leonhard Euler nel 1727 a dargli il nome e numero e studiarne intensamente le proprietà. Questo è il motivo per cui è noto anche come Numero di Eulero e anche come base naturale per i logaritmi naturali (un esponente) attualmente utilizzati.
Il numero e vale:
e = 2,71828182845904523536 ...
I puntini di sospensione indicano che ci sono un numero infinito di decimali e infatti, con i computer di oggi, se ne conoscono milioni.
Esistono diversi modi per definire e che descriviamo di seguito:
Uno dei vari modi in cui viene espresso il numero e è quello che lo scienziato Bernoulli ha trovato nei suoi lavori sull'interesse composto:
In cui devi fare il valore n un numero molto elevato.
È facile controllare, con l'aiuto di una calcolatrice, che quando n è molto grande, l'espressione precedente tende al valore di e dato sopra.
Certo, possiamo chiederci quanto può diventare grande n, quindi proviamo con numeri tondi, come questi ad esempio:
n = 1000; 10.000 o 100.000
Nel primo caso otteniamo e = 2,7169239…. Nel secondo e = 2,7181459… e nel terzo è molto più vicino al valore di e: 2.7182682. Possiamo già capire che con n = 1.000.000 o più, l'approssimazione sarà ancora migliore.
In linguaggio matematico, la procedura di creazione n si avvicina sempre di più a un valore molto grande, si chiama limite all'infinito ed è indicato in questo modo:
Per denotare l'infinito si usa il simbolo "∞".
È anche possibile definire il numero e tramite questa operazione:
Le cifre che compaiono al denominatore: 1, 2, 6, 24, 120… corrispondono all'operazione n!, dove:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
E per definizione 0! = 1.
È facile verificare che più sono gli addendi aggiunti, più precisamente si raggiunge il numero e.
Facciamo alcuni test con la calcolatrice, aggiungendo sempre più addendi:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Più termini aggiunti alla somma, più apparirà il risultato e.
I matematici hanno escogitato una notazione compatta per queste somme che coinvolgono molti termini, usando il simbolo di sommatoria Σ:
Questa espressione è letta in questo modo "somma da n = 0 a infinito di 1 tra n fattoriale".
Il numero e ha una rappresentazione grafica relativa all'area sotto il grafico della curva:
y = 1 / x
Quando i valori di x sono compresi tra 1 ed e, quest'area è uguale a 1, come illustrato nella figura seguente:
Alcune delle proprietà del numero e sono:
-È irrazionale, in altre parole, non può essere ottenuto semplicemente dividendo due numeri interi.
-Il numero e è anche un file numero trascendente, che cosa significa e non è una soluzione di alcuna equazione polinomiale.
-È correlato ad altri quattro numeri famosi nel campo della matematica, vale a dire: π, i, 1 e 0, attraverso l'identità di Eulero:
eπi + 1 = 0
-Le chiamate numeri complessi può essere espresso attraverso e.
-Costituisce la base dei logaritmi naturali o naturali odierni (la definizione originale di John Napier è leggermente diversa).
-È l'unico numero tale che il suo logaritmo naturale sia uguale a 1, ovvero:
ln e = 1
Il numero e compare molto frequentemente nel campo della probabilità e della statistica, in varie distribuzioni, come normale o gaussiana, di Poisson e altre..
In ingegneria è comune, poiché la funzione esponenziale y = eX è presente, ad esempio, nella meccanica e nell'elettromagnetismo. Tra le tante applicazioni possiamo citare:
-Un cavo o una catena che pende tenuto dalle estremità, adotta la forma della curva data da:
y = (eX + e-X) /Due
-Un condensatore C inizialmente scarico, che è collegato in serie ad un resistore R e ad una sorgente di tensione V per caricarsi, acquisisce una certa carica Q in funzione del tempo t dato da:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
La funzione esponenziale y = A.eBx, con A e B costanti, viene utilizzato per modellare la crescita cellulare e la crescita batterica.
Nella fisica nucleare, il decadimento radioattivo e la determinazione dell'età sono modellati dalla datazione al radiocarbonio.
Nel calcolo dell'interesse composto il numero e sorge naturalmente.
Supponi di avere una certa somma di denaro Po, investirlo a un tasso di interesse dell'i% all'anno.
Se lasci i soldi per 1 anno, dopo quel tempo avrai:
P (1 anno) = Po + Po.i = Po (1+ i)
Dopo un altro anno senza toccarlo, avrai:
P (2 anni) = Po + Po.io + (Po + Po .i) i = Po +2 Po.i + Po.ioDue = Po (1 + i)Due
E continuando in questo modo n anni:
P = Po (1 + i)n
Ora ricordiamo una delle definizioni di e:
Assomiglia un po 'all'espressione per P, quindi deve esserci una relazione.
Distribuiremo il tasso di interesse nominale io sopra n periodi di tempo, in questo modo il tasso di interesse composto sarà i / n:
P = Po [1+ (i / n)]n
Questa espressione assomiglia un po 'di più al nostro limite, ma non è ancora esattamente la stessa.
Tuttavia, dopo alcune manipolazioni algebriche si può dimostrare che apportando questo cambio di variabile:
h = n / i → i = n / h
Il nostro denaro P diventa:
P = Po [1+ (1 / h)]Ciao = Po [1+ (1 / h)]hio
E cosa c'è tra le chiavi, anche se è scritto con la lettera h, è uguale all'argomento del limite che definisce il numero e, manca solo prendendo il limite.
Facciamo h → ∞, e ciò che si trova tra le parentesi graffe diventa il numero e. Ciò non significa che dobbiamo aspettare un tempo infinitamente lungo per ritirare i nostri soldi.
Se guardiamo da vicino, quando lo facciamo h = n / i e tendendo a ∞, ciò che abbiamo effettivamente fatto è distribuire il tasso di interesse in periodi di tempo molto, molto piccoli:
i = n / h
Questo è chiamato compounding continuo. In tal caso la quantità di denaro è facilmente calcolabile in questo modo:
P = Po .eio
Dove i è il tasso di interesse annuale. Ad esempio, depositando 12 € al 9% annuo, tramite capitalizzazione continua, dopo un anno hai:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Con un guadagno di 1,13 €.
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