Il homothecy È una variazione geometrica del piano dove, partendo da un punto fisso denominato centro (O), le distanze vengono moltiplicate per un fattore comune. In questo modo, ogni punto P corrisponde ad un altro punto P 'prodotto della trasformazione, e questi sono allineati con il punto O.
Quindi, l'omotetia riguarda una corrispondenza tra due figure geometriche, dove i punti trasformati sono chiamati omotetici, e questi sono allineati con un punto fisso e con segmenti paralleli tra loro..
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L'omotezia è una trasformazione che non ha un'immagine congruente, perché da una figura si otterranno una o più figure di grandezza maggiore o minore della figura originale; cioè, l'omotetia trasforma un poligono in un altro simile.
Affinché l'omotetia sia soddisfatta, punto a punto e linea a linea devono corrispondere, in modo che le coppie di punti omologhi siano allineate con un terzo punto fisso, che è il centro dell'omotetia.
Allo stesso modo, le coppie di linee che le uniscono devono essere parallele. La relazione tra tali segmenti è una costante chiamata rapporto di homothecy (k); in modo tale che l'omotetica possa essere definita come:
Per effettuare questo tipo di trasformazione, iniziamo scegliendo un punto arbitrario, che sarà il centro dell'omotezia.
Da questo punto, vengono disegnati segmenti di linea per ogni vertice della figura da trasformare. La scala in cui è realizzata la riproduzione della nuova figura è data dal rapporto di omotezia (k).
Una delle principali proprietà dell'omotetia è che, per la ragione omotetica (k), tutte le figure omotetiche sono simili. Altre proprietà degne di nota includono quanto segue:
- Il centro di omoteci (O) è l'unico punto doppio e diventa se stesso; cioè non varia.
- Le linee che passano per il centro si trasformano in se stesse (sono doppie), ma i punti che lo compongono non sono doppi.
- Le linee che non passano per il centro diventano linee parallele; in questo modo, gli angoli di homothecy rimangono gli stessi.
- L'immagine di un segmento per un'omotezia di centro O e rapporto k, è un segmento parallelo a questo e ha k volte la sua lunghezza. Ad esempio, come si può vedere nell'immagine seguente, un segmento AB per homothecy risulterà in un altro segmento A'B ', in modo tale che AB sarà parallelo ad A'B' e la k sarà:
- Gli angoli omotetici sono congruenti; cioè hanno la stessa misura. Pertanto, l'immagine di un angolo è un angolo che ha la stessa ampiezza.
D'altra parte, l'omotetia varia a seconda del valore del suo rapporto (k), e possono verificarsi i seguenti casi:
- Se la costante k = 1, tutti i punti sono fissi perché si trasformano. La figura omotetica coincide quindi con quella originaria e la trasformazione sarà chiamata funzione identità.
- Se k ≠ 1, l'unico punto fisso sarà il centro dell'omotetico (O).
- Se k = -1, l'omotezia diventa una simmetria centrale (C); ovvero, si verificherà una rotazione intorno a C, con un angolo di 180o.
- Se k> 1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore della dimensione dell'originale.
- Sì 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Sì -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Se k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
L'omotetia può anche essere classificata in due tipi, a seconda del valore del suo rapporto (k):
Si verifica se la costante k> 0; cioè i punti omotetici sono dalla stessa parte rispetto al centro:
Il fattore di proporzionalità o il rapporto di similarità tra i dati omotetici diretti sarà sempre positivo.
Si verifica se la costante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
Il fattore di proporzionalità o il rapporto di similarità tra le cifre omotetiche inverse sarà sempre negativo.
Quando più movimenti vengono eseguiti in successione fino ad ottenere una figura uguale all'originale, si verifica una composizione di movimenti. Anche la composizione di più movimenti è un movimento.
La composizione tra due homothecies si traduce in una nuova homothecy; cioè, c'è un prodotto di omoteità in cui il centro sarà allineato con il centro delle due trasformazioni originali, e il rapporto (k) è il prodotto dei due rapporti.
Così, nella composizione di due homothecies H1(O1, K1) e H.Due(ODue, KDue), la moltiplicazione dei loro rapporti: k1 x kDue = 1 risulterà in un'omotezia del rapporto k3 = K1 x kDue. Il centro di questa nuova homothecy (O3) si troverà sulla linea O1 ODue.
L'omoteci corrisponde a un cambiamento piatto e irreversibile; se si applicano due omoté che hanno lo stesso centro e rapporto ma con segno diverso si otterrà la cifra originaria.
Applicare un'omotezia al poligono dato con centro (O), situato a 5 cm dal punto A e il cui rapporto è k = 0,7.
Qualsiasi punto viene scelto come centro dell'omotezia, e da questo punto i raggi vengono disegnati attraverso i vertici della figura:
Abbiamo che la distanza dal centro (O) al punto A è OA = 5; Con questo si può determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OA '), sapendo anche che k = 0.7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
Il processo può essere fatto per ogni vertice, oppure si può disegnare anche il poligono omotetico ricordando che i due poligoni hanno lati paralleli:
Infine, la trasformazione è simile a questa:
Applicare un'omotezia al poligono dato con centro (O), situato a 8,5 cm dal punto C e il cui rapporto y k = -2.
La distanza dal centro (O) al punto C è OC = 8,5; Con questi dati è possibile determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OC '), sapendo anche che k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
Dopo aver disegnato i segmenti dei vertici del poligono trasformato, i punti iniziali e la loro omotetica si trovano alle estremità opposte rispetto al centro:
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