Il geometria analitica studia linee e figure geometriche applicando tecniche di base di algebra e analisi matematica in un dato sistema di coordinate.
Di conseguenza, la geometria analitica è una branca della matematica che analizza in dettaglio tutti i dati delle figure geometriche, cioè il volume, gli angoli, l'area, i punti di intersezione, le loro distanze, tra gli altri..
La caratteristica fondamentale della geometria analitica è quella di consentire la rappresentazione di figure geometriche tramite formule.
Ad esempio le circonferenze sono rappresentate da equazioni polinomiali di secondo grado mentre le linee sono espresse da equazioni polinomiali di primo grado.
La geometria analitica nasce nel Seicento per la necessità di dare risposte a problemi che fino ad ora non avevano soluzione. Aveva come massimi rappresentanti René Descartes e Pierre de Fermat.
Oggi molti autori lo indicano come una creazione rivoluzionaria nella storia della matematica, poiché rappresenta l'inizio della matematica moderna.
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Il termine geometria analitica è sorto in Francia nel XVII secolo a causa della necessità di dare risposte a problemi che non potevano essere risolti usando algebra e geometria in isolamento, ma la soluzione era nell'uso combinato di entrambi.
Nel corso del Seicento due francesi per caso in vita effettuarono ricerche che in un modo o nell'altro si conclusero con la creazione della geometria analitica. Queste persone erano Pierre de Fermat e René Descartes.
Attualmente si ritiene che il creatore della geometria analitica fosse René Descartes. Ciò è dovuto al fatto che ha pubblicato il suo libro prima di Fermat e anche in profondità con Descartes si occupa del tema della geometria analitica..
Tuttavia, sia Fermat che Descartes scoprirono che le linee e le figure geometriche potevano essere espresse da equazioni e le equazioni potevano essere espresse come linee o figure geometriche..
Secondo le scoperte fatte dai due, si può dire che entrambi sono i creatori della geometria analitica..
Pierre de Fermat era un matematico francese nato nel 1601 e morto nel 1665. Durante la sua vita studiò la geometria di Euclide, Apollonio e Pappo, al fine di risolvere i problemi di misurazione che esistevano a quel tempo.
Successivamente questi studi hanno innescato la creazione della geometria. Sono finite per essere espresse nel suo libro "Introduzione a luoghi piatti e solidi"(Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), pubblicato 14 anni dopo la sua morte nel 1679.
Pierre de Fermat nel 1623 applicò la geometria analitica ai teoremi di Apollonio sui luoghi geometrici. È stato anche colui che per primo ha applicato la geometria analitica allo spazio tridimensionale..
Conosciuto anche come Cartesius, era un matematico, fisico e filosofo nato il 31 marzo 1596 in Francia e morto nel 1650..
René Descartes pubblicò nel 1637 il suo libro “Discorso sul metodo per condurre correttamente la ragione e cercare la verità nella scienza"Meglio noto come"Il metodo"E da lì il termine geometria analitica è stato introdotto nel mondo. Una delle sue appendici era "The Geometry".
La geometria analitica è composta dai seguenti elementi:
Questo sistema prende il nome da René Descartes.
Non è stato lui a nominarlo, né a completare il sistema di coordinate cartesiane, ma è stato lui a parlare di coordinate con numeri positivi che consentiranno ai futuri studiosi di completarlo..
Questo sistema è composto dal sistema di coordinate rettangolari e dal sistema di coordinate polari.
I sistemi di coordinate rettangolari sono chiamati il piano formato dal contorno di due linee numeriche perpendicolari tra loro, dove il punto di interruzione coincide con lo zero comune.
Allora questo sistema sarebbe composto da una linea orizzontale e da una verticale..
La linea orizzontale è l'asse X o l'asse delle ascisse. La linea verticale sarebbe l'asse Y o l'asse delle ordinate.
Questo sistema ha il compito di verificare la posizione relativa di un punto rispetto a una linea fissa e ad un punto fisso sulla linea.
Questa equazione si ottiene da una retta quando sono noti due punti attraverso i quali passa.
È uno che non devia e quindi non ha né curve né angoli.
Sono le curve definite dalle linee che passano per un punto fisso e dai punti di una curva.
L'ellisse, la circonferenza, la parabola e l'iperbole sono curve coniche. Ciascuno di essi è descritto di seguito.
La circonferenza è chiamata la curva del piano chiuso che è formata da tutti i punti del piano che sono equidistanti da un punto interno, cioè dal centro della circonferenza.
È il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (fuoco) e da una linea fissa (direttrice). Quindi, la direttrice e il fuoco sono ciò che definisce la parabola.
La parabola può essere ottenuta come sezione di una superficie conica di rivoluzione attraverso un piano parallelo ad una generatrice.
Un'ellisse è la curva chiusa che descrive un punto quando ci si sposta su un piano in modo tale che la somma delle sue distanze a due (2) punti fissi (chiamati fuochi) sia costante.
La curva definita come il luogo dei punti nel piano è chiamata iperbole, per la quale la differenza tra le distanze di due punti fissi (fuochi) è costante..
L'iperbole ha un asse di simmetria che passa attraverso i fuochi, chiamato asse focale. Ne ha anche un'altra che è la bisettrice del segmento che ha i punti fissi alle sue estremità..
Esistono varie applicazioni della geometria analitica in diverse aree della vita quotidiana. Ad esempio, possiamo trovare la parabola, uno degli elementi fondamentali della geometria analitica, in molti degli strumenti che vengono utilizzati quotidianamente oggi. Alcuni di questi strumenti sono i seguenti:
Le antenne paraboliche hanno un riflettore generato a seguito di una parabola che ruota sull'asse di detta antenna. La superficie generata come risultato di questa azione è chiamata paraboloide.
Questa capacità del paraboloide è chiamata proprietà ottica o proprietà di riflessione di una parabola, e grazie a ciò è possibile che il paraboloide rifletta le onde elettromagnetiche che riceve dal meccanismo di alimentazione che costituisce l'antenna..
Quando una corda sostiene un peso omogeneo ma, allo stesso tempo, notevolmente maggiore del peso della corda stessa, il risultato sarà una parabola.
Questo principio è fondamentale per la costruzione di ponti sospesi, che solitamente sono supportati da ampie strutture in cavo d'acciaio..
Il principio della parabola nei ponti sospesi è stato utilizzato in strutture come il Golden Gate Bridge, situato nella città di San Francisco, negli Stati Uniti, o il Great Bridge dello Stretto di Akashi, che si trova in Giappone e collega il Isola di Awaji con Honshū, l'isola principale di quel paese.
La geometria analitica ha avuto anche usi molto specifici e decisivi nel campo dell'astronomia. In questo caso, l'elemento della geometria analitica che prende il centro della scena è l'ellisse; La legge del moto dei pianeti di Johannes Keplero ne è un riflesso.
Keplero, un matematico e astronomo tedesco, stabilì che l'ellisse era la curva che meglio si adattava al moto di Marte; In precedenza aveva provato il modello circolare proposto da Copernico, ma nel bel mezzo dei suoi esperimenti, ne dedusse che l'ellisse servisse a disegnare un'orbita perfettamente simile a quella del pianeta che stava studiando..
Grazie all'ellisse, Keplero poté affermare che i pianeti si muovevano su orbite ellittiche; questa considerazione era l'affermazione della cosiddetta seconda legge di Keplero.
Da questa scoperta, poi arricchita dal fisico e matematico inglese Isaac Newton, è stato possibile studiare i movimenti orbitazionali dei pianeti, e accrescere la conoscenza che avevamo sull'universo di cui facciamo parte.
Il telescopio Cassegrain prende il nome dal suo inventore, il fisico francese Laurent Cassegrain. In questo telescopio vengono utilizzati i principi della geometria analitica perché è composto principalmente da due specchi: il primo è concavo e parabolico, e il secondo è caratterizzato dall'essere convesso e iperbolico..
La posizione e la natura di questi specchi consentono al difetto noto come aberrazione sferica di non verificarsi; questo difetto impedisce ai raggi di luce di essere riflessi nel fuoco di una data lente.
Il telescopio Cassegrain è molto utile per l'osservazione planetaria, oltre ad essere abbastanza versatile e facile da usare..
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