Il funzione logaritmica è una relazione matematica che associa ogni numero reale positivo X con il suo logaritmo Y su una base per. Questa relazione soddisfa i requisiti per essere una funzione: ogni elemento x appartenente al dominio ha un'immagine unica.
Perciò:
f (x) = y = logper X , con a> 0 e diverso da 1.
Le principali proprietà della funzione logaritmica sono:
-Il suo dominio è tutti i reali maggiori di 0, escluso lo 0. In altre parole, non ci sono logaritmi di 0 o numeri negativi in nessuna base. In forma di intervallo:
Sole F = (0, ∞ +)
-Il logaritmo di un numero può essere negativo, positivo o 0, quindi il suo intervallo o intervallo è:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-La funzione logaritmica è sempre crescente per a> 1 e decrescente per a<1.
-L'inverso di f (x) = logper X è la funzione esponenziale.
Infatti, la funzione logaritmo basata su, è la funzione inversa della funzione potenziale:
F-1(x) = aY
Poiché il logaritmo in base per di un numero X, È il numero Y a cui la base dovrebbe essere sollevata per ottenere X.
-Il logaritmo della base è sempre 1. Quindi, il grafico di f (x) = logper X interseca sempre l'asse x nel punto (1,0)
-La funzione logaritmica è trascendente e non può essere espresso come un polinomio o come un quoziente di questi. Oltre al logaritmo, questo gruppo include le funzioni trigonometriche ed esponenziali, tra le altre.
Indice articolo
La funzione logaritmica può essere stabilita da varie basi, ma le più utilizzate sono 10 e e, dove e è il numero di Eulero pari a 2,71828 ... .
Quando viene utilizzata la base 10, il logaritmo viene chiamato logaritmo decimale, logaritmo volgare, Briggs o semplicemente logaritmo semplice.
E se viene utilizzato il numero e, viene chiamato logaritmo naturale da John Napier, il matematico scozzese che ha scoperto i logaritmi..
La notazione usata per ognuno è la seguente:
-Logaritmo decimale: log10 x = log x
-Logaritmo naturale: ln x
Quando si vuole utilizzare un'altra base, è assolutamente necessario indicarla come pedice, perché il logaritmo di ogni numero è diverso a seconda della base da utilizzare. Ad esempio, se sono logaritmi in base 2, scrivi:
y = logDue X
Diamo un'occhiata al logaritmo del numero 10 in tre diverse basi, per illustrare questo punto:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
logDue 10 = 3,32193
I calcolatori comuni portano solo logaritmi decimali (funzione log) e logaritmo naturale (funzione ln). Su Internet ci sono calcolatrici con altre basi. In ogni caso, il lettore può verificare, con il suo aiuto, che i valori di cui sopra sono veri:
101 = 10
e2.3026 = 10.0001
Due3.32193 = 10.0000
Piccole differenze decimali sono dovute al numero di cifre decimali prese nel calcolo del logaritmo.
Tra i vantaggi dell'utilizzo dei logaritmi c'è la facilità che forniscono per lavorare con grandi numeri, utilizzando direttamente il loro logaritmo invece del numero.
Ciò è possibile perché la funzione logaritmo cresce più lentamente all'aumentare dei numeri, come possiamo vedere nel grafico.
Quindi, anche con numeri molto grandi, i loro logaritmi sono molto più piccoli e manipolare numeri piccoli è sempre più facile..
Inoltre, i logaritmi hanno le seguenti proprietà:
-Prodotto: log (a.b) = log a + log b
-Quoziente: log (a / b) = log a - log b
-Energia: log ab = b.log a
E in questo modo i prodotti ei quozienti diventano addizioni e sottrazioni di numeri più piccoli, mentre il potenziamento diventa un prodotto semplice anche se la potenza è alta..
Ecco perché i logaritmi ci consentono di esprimere numeri che variano in intervalli di valori molto ampi, come l'intensità del suono, il pH di una soluzione, la luminosità delle stelle, la resistenza elettrica e l'intensità dei terremoti sulla scala Richter..
Vediamo un esempio di gestione delle proprietà dei logaritmi:
Trova il valore di x nella seguente espressione:
log (5x +1) = 1 + log (2x-1)
Abbiamo qui un'equazione logaritmica, poiché l'ignoto è nell'argomento del logaritmo. Si risolve lasciando un singolo logaritmo su ciascun lato dell'uguaglianza.
Iniziamo posizionando tutti i termini che contengono "x" a sinistra dell'uguaglianza e quelli che contengono solo numeri a destra:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
A sinistra abbiamo la sottrazione di due logaritmi, che possono essere scritti come logaritmo di un quoziente:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Tuttavia, a destra c'è il numero 1, che possiamo esprimere come log 10, come abbiamo visto in precedenza. Poi:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Affinché l'uguaglianza sia soddisfatta, argomenti dei logaritmi deve essere uguale:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Nel 1957 si verificò un terremoto in Messico la cui magnitudo era 7,7 della scala Richter. Nel 1960 in Cile si verificò un altro terremoto di maggiore entità, del 9,5.
Calcola quante volte il terremoto in Cile è stato più intenso di quello in Messico, sapendo che la magnitudo MR sulla scala Richter è dato dalla formula:
MR = log (104 IO)
La magnitudo sulla scala Richter di un terremoto è una funzione logaritmica. Calcoleremo l'intensità di ogni terremoto, poiché abbiamo le magnitudini Richter. Facciamolo passo dopo passo:
-Messico: 7.7 = log (104 IO)
Poiché l'inverso della funzione logaritmo è l'esponenziale, lo applichiamo a entrambi i lati dell'uguaglianza con l'intenzione di risolvere per I, che si trova nell'argomento del logaritmo.
Poiché sono logaritmi decimali, la base è 10. Quindi:
10 7.7 = 104 io
L'intensità del terremoto in Messico è stata:
ioM = 10 7.7 / 104 = 103.7
-chili: 9.5 = log (104 IO)
La stessa procedura ci porta all'intensità del terremoto cileno I.Ch:
ioCh = 10 9.5 / 104 = 105.5
Ora possiamo confrontare entrambe le intensità:
ioCh / IOM = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
ioCh = 63,1. ioM
Il terremoto in Cile è stato circa 63 volte più intenso di quello in Messico. Poiché la magnitudine è logaritmica, cresce più lentamente dell'intensità, quindi una differenza di 1 nella magnitudine, significa un'ampiezza 10 volte maggiore dell'onda sismica.
La differenza tra le magnitudini di entrambi i terremoti è 1,8, quindi potremmo aspettarci una differenza di intensità più vicina a 100 che a 10, come è effettivamente accaduto..
Infatti, se la differenza fosse stata esattamente 2, il terremoto cileno sarebbe stato 100 volte più intenso di quello messicano..
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