Una variabile casuale ha un'estensione distribuzione uniforme continua se la probabilità che assume un valore, all'interno di un intervallo finito [a, b], è la stessa per ogni sottointervallo di uguale lunghezza.
Questa distribuzione è analoga alla distribuzione discreta uniforme, che assegnava la stessa probabilità a ciascun risultato dell'esperimento casuale, ma in questo caso la variabile da considerare è continua. Ad esempio, l'esperimento che consiste nel selezionare un numero reale a caso, tra i valori aeb, segue la distribuzione uniforme. Ecco il suo grafico:
Nella notazione matematica, la distribuzione uniforme continua ha una funzione di densità definita come funzione a tratti o a tratti, che può essere scritta come:
Il grafico di questa funzione, noto come curva o funzione di densità, è un rettangolo, quindi la distribuzione uniforme continua è anche nota come layout rettangolare y è la più semplice delle distribuzioni continue.
L'area sotto il grafico di una distribuzione di probabilità è uguale a 1 e assume sempre valori positivi. La distribuzione uniforme soddisfa questi criteri. Non è necessario integrare direttamente per verificare che l'area sia 1, poiché l'area del rettangolo ombreggiato in Figura 1 può essere calcolata utilizzando la formula:
Area = base x altezza = (b - a) x [1 / (b - a)] = 1
Conoscere l'area sotto la curva di densità è molto importante, perché esiste una relazione tra l'area e la probabilità di accadimento di un evento, che per questa distribuzione è determinata nella sezione successiva.
La distribuzione uniforme continua è caratterizzata da:
Sia X la variabile casuale continua, che appartiene all'intervallo [a, b], quindi:
La funzione di distribuzione calcola la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore x tra i possibili valori dell'intervallo [a, b]. Per una distribuzione continua, viene generalmente calcolato in questo modo:
Nel caso della distribuzione uniforme continua, detta probabilità F (x) è uguale all'area del rettangolo la cui base è (x-a) e la sua altezza è (b-a):
Matematicamente, se F (x) = Pr (X = x) la seguente funzione è stabilita in parti, in base al risultato precedente:
In questo modo si verifica quanto detto prima: la probabilità dipende solo dal valore di (x-a) e non dalla sua collocazione nell'intervallo [a, b]. Il grafico della funzione di distribuzione è:
Dopo aver fatto numerosi esperimenti con la variabile casuale continua, viene chiamato il suo valore medio valore atteso, è indicato come E (X) ed è calcolato dal seguente integrale:
V (X) = E (XDue) - E (X)Due
Perciò:
D (X) = √ V (X)
Si può facilmente verificare che la mediana, che è il valore centrale della distribuzione uniforme, è uguale alla media, e poiché non esiste un valore che si ripeta più di altri, poiché tutti sono ugualmente probabili nell'intervallo [a, b] , la moda non esiste.
Per quanto riguarda la simmetria, la distribuzione uniforme è simmetrica e la curtosi, che è il grado di concentrazione dei valori attorno al centro, è -6/5.
Varie situazioni possono essere modellate attraverso la distribuzione continua e quindi il loro comportamento può essere previsto. Ecco alcuni esempi:
Un'azienda che fornisce il servizio elettrico fornisce livelli di tensioni distribuite uniformemente, comprese tra 123,0 V e 125,0 V. Ciò significa che nella presa domestica è possibile ottenere qualsiasi valore di tensione appartenente a quel range..
Quindi, come visto sopra, il grafico della funzione di densità è il rettangolo in rosso:
Calcolare la probabilità di avere una tensione all'interno dell'intervallo dato è molto semplice, ad esempio qual è la probabilità che l'azienda invii una tensione inferiore a 123,5 V?
Questa probabilità è uguale all'area del rettangolo ombreggiato in blu:
P (X<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25
E qual è la probabilità che la tensione erogata sia maggiore di 124,0 V.?
Poiché l'area totale è uguale a 1, la probabilità ricercata è:
P (X> 124,0 V) = 1 - (1 × 0,5) = 0,5
Ha senso, poiché 124.0 è esattamente il valore al centro dell'intervallo.
Una certa variabile casuale X ha una distribuzione uniforme nell'intervallo [0,100]. Decidere:
a) La probabilità che il valore di X sia inferiore a 22.
b) La probabilità che X assuma valori compresi tra 20 e 35.
c) Il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di questa distribuzione.
È determinato in modo simile all'esempio precedente, ma prima dobbiamo determinare l'altezza del rettangolo, ricordando che l'area totale deve essere uguale a 1:
Area = 100 × altezza = 1
Pertanto il rettangolo ha un'altezza pari a 1/100 = 0,01
P (X<22) = 22×0.01 = 0.22
La probabilità richiesta è uguale all'area del rettangolo la cui larghezza è (35-20) e la cui altezza è 0,01:
P (22 Se preferisci andare direttamente alla funzione di distribuzione data sopra, devi solo sostituire i valori in: P (20≤X≤35) = F (35) -F (20) Con F (x) dato da: F (x) = (x-a) / (b-a) I valori da inserire sono: a = 0 b = 100 F (35) = (35-0) / (100-0) = 0,35 F (20) = (20-0) / (100-0) = 0,20 P (20≤X≤35) = 0,35-0,20 = 0,15 Il valore atteso è: E (X) = (a + b) / 2 = (100 + 0) / 2 = 50 La varianza è: V (X) = (b-a)Due/ 12 = (100-0)Due/ 12 = 833,33 E la deviazione standard è: D (X) = √833,33 = 28,87 Questa distribuzione è utile quando si eseguono processi di simulazione statistica o quando si lavora su eventi la cui frequenza di accadimento è regolare.. Alcuni linguaggi di programmazione generano numeri casuali compresi tra 0 e 1 e, come si può vedere dagli esempi precedenti, la distribuzione di probabilità seguita è uniforme. In questo caso, l'intervallo da considerare è [0,1]. Se hai un esperimento in cui gli eventi hanno regolarità, come spiegato prima, puoi, in linea di principio, assegnare a ciascuno la stessa probabilità di accadimento. In questo caso, il modello probabilistico di distribuzione uniforme fornisce informazioni per l'analisi.. La distribuzione uniforme viene utilizzata anche per arrotondare le differenze tra i valori osservati ei valori reali di una variabile, assumendo una distribuzione uniforme dell'errore in un dato intervallo, secondo l'arrotondamento, solitamente da -0,5 a +0,5.Risposta c
Applicazioni
Generazione di numeri casuali
Campionamento di distribuzioni arbitrarie
Arrotondare gli errori
Riferimenti
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