Il differenza di cubi è un'espressione algebrica binomiale della forma a3 - b3, dove i termini aeb possono essere numeri reali o espressioni algebriche di vario tipo. Un esempio di differenza di cubi è: 8 - x3, poiché 8 può essere scritto come 23.
Geometricamente possiamo pensare ad un cubo grande, di lato a, da cui viene sottratto il cubo piccolo di lato b, come illustrato in figura 1:
Il volume della figura risultante è precisamente una differenza di cubi:
V = a3 - b3
Per trovare un'espressione alternativa, si osserva che questa figura può essere scomposta in tre prismi, come mostrato di seguito:
Un prisma ha un volume dato dal prodotto delle sue tre dimensioni: larghezza x altezza x profondità. In questo modo, il volume risultante è:
V = a3 - b3 = aDue.b + b3 + a.bDue
Il fattore b è comune a destra. Inoltre, nella figura sopra riportata, è particolarmente vero che:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Quindi si può dire che: b = a - b. Quindi:
per3 - b3 = b (aDue + bDue +a.b) = (a-b) (aDue + a.b + bDue)
Questo modo di esprimere la differenza dei cubi si rivelerà molto utile in molte applicazioni e sarebbe stato ottenuto allo stesso modo, anche se il lato del cubo mancante nell'angolo fosse diverso da b = a / 2.
Nota che la seconda parentesiassomiglia molto al notevole prodotto del quadrato della somma, ma il termine incrociato non viene moltiplicato per 2. Il lettore può sviluppare il lato destro per verificare che sia effettivamente ottenuto per3 - b3.
Indice articolo
Esistono diverse differenze di cubi:
1 - m6
per6b3 - 8z12Y6
(1/125) .x6 - 27 e9
Analizziamo ognuno di loro. Nel primo esempio, l'1 può essere scritto come 1 = 13 e il termine m6 rimane: (mDue)3. Entrambi i termini sono cubi perfetti, quindi la loro differenza è:
1 - m6 = 13 - (mDue)3
Nel secondo esempio vengono riscritti i termini:
per6b3 = (aDueb)3
8z12Y6 = 23 (z4)3 (YDue)3 = (2z4YDue)3
La differenza di questi cubi è: (aDueb)3 - (2z4YDue)3.
Infine, la frazione (1/125) è (1/53), X6 = (xDue)3, 27 = 33 e e9 = (e3)3. Sostituendo tutto questo nell'espressione originale, ottieni:
(1/125) .x6 - 27y9 = [(1/5) (xDue)]3 - (3 anni3)3
La fattorizzazione della differenza dei cubi semplifica molte operazioni algebriche. Per fare ciò è sufficiente utilizzare la formula dedotta sopra:
Ora, la procedura per applicare questa formula consiste in tre passaggi:
- Innanzitutto, si ottiene la radice cubica di ciascuno dei termini della differenza.
- Quindi vengono costruiti il binomio e il trinomio che appaiono sul lato destro della formula.
- Infine si sostituiscono il binomio e il trinomio per ottenere la fattorizzazione definitiva.
Illustriamo l'uso di questi passaggi con ciascuno degli esempi di differenza di cubo proposti sopra e otteniamo così il suo equivalente fattorizzato.
Fattorizzare l'espressione 1 - m6 seguendo i passaggi descritti. Iniziamo riscrivendo l'espressione come 1 - m6 = 13 - (mDue)3 per estrarre le rispettive radici cubiche di ciascun termine:
Successivamente, vengono costruiti il binomio e il trinomio:
a = 1
b = mDue
Poi:
a - b = 1 - mDue
(perDue +a.b + bDue) = 1Due + 1.mDue + (mDue)Due = 1 + mDue + m4
Infine viene sostituito nella formula a3 - b3 = (a-b) (aDue +a.b + bDue):
1 - m6 = (1 - mDue) (1 + mDue + m4)
Fattorizzare:
per6b3 -8z12Y6 = (aDueb)3 - (2z4YDue)3
Trattandosi di cubi perfetti, le radici del cubo sono immediate: aDuebe 2z4YDue, quindi ne consegue che:
- Binomiale: aDueb - 2z4YDue
- Trinomiale: (aDueb)Due + perDueb. 2z4YDue + (perDueb + 2z4YDue)Due
E ora viene costruita la fattorizzazione desiderata:
per6b3 -8z12Y6 = (aDueb - 2z4YDue). [(perDueb)Due + perDueb. 2z4YDue + (perDueb + 2z4YDue)Due] =
= (aDueb - 2z4YDue). [per4bDue + 2 °Dueb.z4YDue + (perDueb + 2z4YDue)Due]
In linea di principio, il factoring è pronto, ma spesso è necessario semplificare ogni termine. Quindi sviluppiamo il prodotto notevole -square di una somma- che appare alla fine e quindi aggiungiamo termini simili. Ricordando che il quadrato di una somma è:
(x + y)Due = xDue + 2xy + eDue
Il prodotto degno di nota sulla destra è sviluppato in questo modo:
(perDueb + 2z4YDue)Due = a4bDue + 4 °Dueb.z4YDue + 4z8Y4
Sostituendo l'espansione ottenuta nella fattorizzazione della differenza dei cubi:
per6b3 -8z12Y6 = (aDueb - 2z4YDue). [per4bDue + 2 °Dueb.z4YDue + per4bDue + 4 °Dueb.z4YDue + 4z8Y4] =
Infine, raggruppando termini simili e fattorizzando i coefficienti numerici, che sono tutti pari, si ottiene:
(perDueb - 2z4YDue). [2a4bDue + 6 °Dueb.z4YDue + 4z8Y4] = 2 (aDueb - 2z4YDue). [per4bDue + 3 °Dueb.z4YDue + 2z8Y4]
Fattore (1/125) .x6 - 27y9 è molto più semplice del caso precedente. Per prima cosa vengono identificati gli equivalenti di aeb:
a = (1/5) xDue
b = 3y3
Quindi vengono sostituiti direttamente nella formula:
(1/125) .x6 - 27y9 = [(1/5) xDue - 3y3]. [(1/25) x4 + (3/5) xDueY3 + 9y6]
La differenza dei cubi ha, come abbiamo detto, una varietà di applicazioni in Algebra. Vediamone alcuni:
Risolvi le seguenti equazioni:
ascia5 - 125 xDue = 0
b) 64-729 x3 = 0
Per prima cosa l'equazione viene scomposta in questo modo:
XDue (X3 - 125) = 0
Poiché 125 è un cubo perfetto, le parentesi sono scritte come differenza di cubi:
XDue . (X3 - 53) = 0
La prima soluzione è x = 0, ma ne troviamo di più se facciamo x3 - 53 = 0, quindi:
X3 = 53 → x = 5
Il lato sinistro dell'equazione viene riscritto come 64-729 x3 = 43 - (9x)3. Perciò:
43 - (9x)3 = 0
Poiché l'esponente è lo stesso:
9x = 4 → x = 9/4
Fattorizza l'espressione:
(x + y)3 - (x - y)3
Questa espressione è una differenza di cubi, se nella formula di factoring notiamo che:
a = x + y
b = x- y
Quindi il binomio viene costruito per primo:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
E ora il trinomio:
perDue + a.b + bDue = (x + y)Due + (x + y) (x-y) + (x-y)Due
Vengono sviluppati prodotti degni di nota:
(x + y)Due = xDue + 2xy + eDue
(x + y) (x-y) = xDue- YDue
(x- y)Due = xDue - 2xy + eDue
Successivamente devi sostituire e ridurre termini simili:
perDue + a.b + bDue = xDue + 2xy + eDue+ XDue- YDue+ XDue - 2xy + eDue = 3xDue + YDue
Il factoring si traduce in:
(x + y)3 - (x - y)3 = 2 anni (3xDue + YDue)
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