Il coordinate rettangolari o cartesiani sono quelli che si ottengono proiettando ortogonalmente sui tre assi cartesiani X, Y, Z un punto situato nello spazio tridimensionale.
Gli assi cartesiani sono linee reciprocamente orientate perpendicolari tra loro. Nel sistema di coordinate cartesiane, a ogni punto nello spazio vengono assegnati tre numeri reali che sono le sue coordinate rettangolari.
Un piano è un sottospazio dello spazio tridimensionale. Nel caso di considerare punti su un piano, allora è sufficiente scegliere una coppia di assi perpendicolari X, Y come sistema cartesiano. Quindi ad ogni punto del piano vengono assegnati due numeri reali che sono le sue coordinate rettangolari.
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Le coordinate rettangolari furono originariamente proposte dal matematico francese René Descartes (1596 e 1650), motivo per cui sono chiamate cartesiane.
Con questa idea di Cartesio, ai punti del piano e dello spazio vengono assegnati dei numeri, in modo che alle figure geometriche sia associata un'equazione algebrica e si possano dimostrare algebricamente i teoremi geometrici classici. Con le coordinate cartesiane nasce la geometria analitica.
Se in un piano si scelgono due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O; e se, inoltre, a ciascuna linea è assegnata una direzione e una scala numerica tra punti equidistanti successivi, allora esiste un sistema o piano cartesiano in cui ogni punto del piano è associato a una coppia ordinata di due numeri reali che sono le loro proiezioni rispettivamente sugli assi X e Y..
I punti A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) e D = (3, -3) sono rappresentati nel piano cartesiano come mostrato di seguito:
Notare che i due assi X e Y dividono il piano in quattro settori chiamati quadranti. Il punto A è nel primo quadrante, B è nel secondo quadrante, C è nel terzo quadrante e il punto D è nel quarto quadrante..
La distanza tra due punti A e B sul piano cartesiano è la lunghezza del segmento che li unisce. Questa distanza può essere calcolata analiticamente come segue:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
La formula sopra è ottenuta applicando il teorema di Pitagora.
Applicando questa formula ai punti A, B della figura 2 abbiamo:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Cioè, d (A, B) = 5.10 unità. Si noti che la distanza è stata ottenuta senza la necessità di misurare con un righello, è stata seguita una procedura completamente algebrica.
Le coordinate rettangolari consentono la rappresentazione analitica di oggetti geometrici fondamentali come il punto e la linea. Due punti A e B definiscono un'unica linea. La pendenza della linea è definita come il quoziente tra la differenza delle coordinate Y del punto B meno A, divisa per la differenza delle coordinate X del punto B meno A:
pendenza = (By - Ay) / (Bx - Ax)
Qualsiasi punto P di coordinate (x, y) che appartiene alla linea (AB) deve avere la stessa pendenza:
pendenza = (y - Ay) / (x - Ax)
L'equazione che si ottiene mediante l'uguaglianza delle pendenze è la rappresentazione analitica o algebrica della retta che passa per i punti A e B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).
Se prendiamo per A e B le coordinate rettangolari della figura 2 abbiamo:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
In questo caso particolare, abbiamo una linea con una pendenza negativa -⅕, il che significa che posizionandosi su un punto sulla linea e aumentando la coordinata x di un'unità, la coordinata y diminuisce di 0,2 unità.
Il modo più comune per scrivere l'equazione della retta nel piano è con la coordinata y deselezionata in funzione della variabile x:
y = - (1/5) x + 13/5
Ottenere con metodi analitici la distanza tra i punti C e A, essendo le coordinate rettangolari di C = (-2, -3) e quelle di A = (3,2).
La formula per la distanza euclidea tra questi due punti è scritta così:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Sostituendo le loro corrispondenti coordinate rettangolari abbiamo:
d (LA, DO) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
Ottieni l'equazione della retta che passa per il punto C delle coordinate (-2, -3) e il punto P delle coordinate (2, 0).
Innanzitutto si ottiene la pendenza della linea CP:
pendenza = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Qualsiasi punto Q di coordinate rettangolari generiche (x, y) che appartiene alla linea CP deve avere la stessa pendenza:
pendenza = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
In altre parole, l'equazione della retta CP è:
(y +3) / (x +2) = ¾
Un modo alternativo per scrivere l'equazione della retta CP è risolvere per y:
y = ¾ x - 3/2
Ottieni le coordinate rettangolari del punto di intersezione tra le rette y = - (1/5) x + 13/5 e la retta y = ¾ x - 3/2.
Soluzione: per definizione, il punto di intersezione delle due linee condivide le stesse coordinate rettangolari. Pertanto, le coordinate y nel punto di intersezione sono identiche per entrambe le linee:
-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
che porta alla seguente espressione:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
risolvendo la somma delle frazioni otteniamo:
19/20 x = 41/10
Risolvendo per x:
x = 82/19 = 4,32
Per ottenere l'intercetta y, il valore x ottenuto viene sostituito in una qualsiasi delle righe:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Ciò significa che le linee date si intersecano nel punto I delle coordinate I = (4.32, 1.74).
Ottieni l'equazione della circonferenza che passa per il punto R di coordinate rettangolari (3, 4) e che ha il centro all'origine delle coordinate.
Soluzione: il raggio R è la distanza dal punto R all'origine O delle coordinate (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3-0) ^ 2 + (4-0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Cioè, è un cerchio di raggio 5 centrato su (0,0).
Qualsiasi punto P (x, y) sulla circonferenza deve avere la stessa distanza 5 dal centro (0, 0) quindi può essere scritto:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Vale a dire:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Per eliminare la radice quadrata, entrambi i membri dell'uguaglianza vengono al quadrato, ottenendo:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Qual è l'equazione della circonferenza.
Questo esempio illustra la potenza del sistema di coordinate rettangolari, che consente di determinare oggetti geometrici, come la circonferenza, senza la necessità di utilizzare carta, matita e compasso. La circonferenza richiesta è stata determinata esclusivamente con metodi algebrici.
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