È compreso da insieme finito qualsiasi insieme con un numero di elementi limitato o numerabile. Esempi di insiemi finiti sono le biglie contenute in una borsa, l'insieme di case in un quartiere o l'insieme P formato dai primi venti (20) numeri naturali:
P = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
L'insieme delle stelle nell'universo è sicuramente immenso, ma non si sa con certezza se sia finito o infinito. Tuttavia, l'insieme dei pianeti nel sistema solare è finito.
Il numero di elementi di un insieme finito è chiamato la sua cardinalità e per l'insieme P è indicato in questo modo: Card (P) o #P. L'insieme vuoto ha cardinalità zero ed è considerato un insieme finito.
Indice articolo
Tra le proprietà degli insiemi finiti ci sono le seguenti:
1- L'unione di insiemi finiti dà origine a un nuovo insieme finito.
2- Se due insiemi finiti si intersecano, ne risulta un nuovo insieme finito.
3- Un sottoinsieme di un insieme finito è finito e la sua cardinalità è minore o uguale a quella dell'insieme originale.
4- L'insieme vuoto è un insieme finito.
Ci sono molti esempi di insiemi finiti. Alcuni esempi includono quanto segue:
Impostato M dei mesi dell'anno, che in forma estesa si può scrivere così:
M = Gennaio, febbraio, marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre, la cardinalità di M è 12.
Impostato S dei giorni della settimana: S = Lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica. La cardinalità di S è 7.
Impostato Ñ delle lettere dell'alfabeto spagnolo è un insieme finito, questo insieme per estensione è scritto così:
Ñ = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z e la sua cardinalità è 27.
Impostato V delle vocali in spagnolo è un sottoinsieme dell'insieme Ñ:
V ⊂ Ñ quindi è un insieme finito.
L'insieme finito V in forma estesa è scritto così: V = a, e, i, o, u e la sua cardinalità è 5.
Gli insiemi possono essere espressi dalla comprensione. Impostato F costituito dalle lettere della parola "finito" è un esempio:
F = x / x è una lettera della parola "finito"
Detto insieme espresso in modo estensivo sarà:
F = f, i, n, t, o la cui cardinalità è 5 e quindi è un insieme finito.
I colori dell'arcobaleno sono un altro esempio di un insieme finito, l'insieme C di questi colori è:
C = rosso, arancione, giallo, verde, ciano, blu, viola e la sua cardinalità è 7.
L'insieme delle fasi F de la Luna è un altro esempio di un insieme finito:
F = Luna nuova, primo quarto, luna piena, ultimo quarto questo set ha cardinalità 4.
Un altro insieme finito è quello formato dai pianeti del sistema solare:
P = Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone di cardinalità 9.
Viene fornito il seguente insieme A = x∊ R / x ^ 3 = 27. Esprimilo a parole e scrivilo per estensione, indica la sua cardinalità e dì se è finito o meno.
Soluzione: L'insieme A è l'insieme dei numeri reali x tali che x ha un cubo di come risultato 27.
L'equazione x ^ 3 = 27 ha tre soluzioni: sono x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) e x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Delle tre soluzioni, solo x1 è reale, mentre le altre due sono numeri complessi.
Poiché la definizione dell'insieme A dice che x appartiene ai numeri reali, allora le soluzioni nei numeri complessi non fanno parte dell'insieme A.
L'insieme A espresso ampiamente è:
A = 3, che è un insieme finito di cardinalità 1.
Scrivi in forma simbolica (per comprensione) e in forma estesa l'insieme B di numeri reali maggiori di 0 (zero) e minori o uguali a 0 (zero). Indicare la sua cardinalità e se è finita o meno.
Soluzione: B = x∊ R / 0 < x <= 0
L'insieme B è vuoto perché un numero reale x non può essere contemporaneamente maggiore e minore di zero, così come non può essere 0 e anche minore di 0.
B = e la sua cardinalità è 0. L'insieme vuoto è un insieme finito.
Viene fornito l'insieme S delle soluzioni di una certa equazione. L'insieme S per comprensione è scritto così:
S = x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Scrivi detto insieme in forma estesa, indica la sua cardinalità e indica se si tratta o meno di un insieme finito.
Soluzione: In primo luogo, analizzando l'espressione che descrive l'insieme S, si ottiene che si tratta di un insieme di valori x reali che sono soluzioni dell'equazione:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Una soluzione di questa equazione è x = 3, che è un numero reale e quindi appartiene a S. Ma ci sono più soluzioni che possono essere ottenute cercando le soluzioni dell'equazione quadratica:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
L'espressione sopra può essere scomposta come segue:
(x - 4) (x - 5) = 0
Il che ci porta ad altre due soluzioni dell'equazione originale (*) che sono x = 4 e x = 5. In breve, l'equazione (*) ha come soluzioni 3, 4 e 5.
L'insieme S espresso in forma estesa si presenta così:
S = 3, 4, 5, che ha cardinalità 3 e quindi è un insieme finito.
Ci sono due insiemi A = 1, 5, 7, 9, 11 e B = x ∊ N / x è pari ^ x < 10 .
Scrivi esplicitamente l'insieme B e trova l'unione con l'insieme A. Trova anche l'intercetta di questi due insiemi e concludi.
Soluzione: l'insieme B è composto da numeri naturali tali che siano pari e siano anche inferiori al valore 10, quindi nell'insieme B in forma estesa è scritto come segue:
B = 2, 4, 6, 8
L'unione dell'insieme A con l'insieme B è:
A U B = 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11
e l'intercetta dell'insieme A con l'insieme B è scritta così:
A ⋂ B = = Ø è l'insieme vuoto.
Va notato che l'unione e l'intercettazione di questi due insiemi finiti portano a nuovi insiemi, che a loro volta sono anche finiti.
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