Il coefficiente di restituzione è il quoziente tra la velocità relativa di ritirata e la velocità relativa di avvicinamento di due corpi in collisione. Quando i corpi sono uniti dopo la collisione, questo quoziente è zero. E l'unità vale nel caso in cui l'urto sia perfettamente elastico.
Supponiamo due sfere solide di massa M1 e massa M2 rispettivamente che subiscono una collisione. Poco prima della collisione le sfere avevano velocità V1 Y V2 rispetto ad un certo sistema di riferimento inerziale. Subito dopo la collisione la loro velocità cambia in V1 ' Y V2 '.
La lettera è stata inserita carattere in grassetto nelle velocità per indicare che sono quantità vettoriali.
Gli esperimenti indicano che ogni collisione soddisfa la seguente relazione:
V1 ' - V2 '= -e (V1 - V2)
Dove e è un numero reale compreso tra 0 e 1, chiamato coefficiente di restituzione della collisione. L'espressione sopra è interpretata in questo modo:
La velocità relativa di due particelle prima della collisione è proporzionale alla velocità relativa delle due particelle dopo la collisione, la costante di proporzionalità è (-e), dove e è il coefficiente di restituzione della collisione.
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L'utilità di questo coefficiente sta nel conoscere il grado di anelasticità di una collisione. Nel caso in cui l'urto sia perfettamente elastico, il coefficiente sarà 1, mentre in un urto completamente anelastico il coefficiente sarà 0, poiché in questo caso la velocità relativa dopo l'urto è zero..
Viceversa, se il coefficiente di restituzione di una collisione e le velocità delle particelle prima di essa sono note, è possibile prevedere le velocità dopo che si è verificata la collisione..
Nelle collisioni, oltre al rapporto che stabilisce il coefficiente di restituzione, c'è un altro rapporto fondamentale, che è il conservazione della quantità di moto.
Quantità di moto p di una particella, o quantità di moto come viene anche chiamata, è il prodotto della massa M della particella dalla sua velocità V. Vale a dire: lo slancio p è una quantità vettoriale.
Nelle collisioni la quantità di moto lineare P del sistema è lo stesso appena prima e subito dopo l'urto, perché le forze esterne sono trascurabili rispetto alle brevi ma intense forze di interazione interna durante l'urto. Ma la conservazione della quantità di moto non è sufficiente P del sistema per risolvere il problema generale della collisione.
Nel caso precedentemente citato, quello delle due sfere di massa M1 e M2 in collisione, la conservazione della quantità di moto lineare è scritta come segue:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2 ' .
Non c'è modo di risolvere il problema della collisione se il coefficiente di restituzione non è noto. La conservazione della quantità di moto, sebbene necessaria, non è sufficiente per prevedere le velocità dopo la collisione.
Quando un problema afferma che i corpi rimangono in movimento insieme dopo la collisione, dice implicitamente che il coefficiente di restituzione è 0.
L'altra quantità fisica importante coinvolta nelle collisioni è l'energia. Durante le collisioni ci sono scambi di energia cinetica, energia potenziale e altri tipi di energia, come l'energia termica.
Prima e dopo l'urto, l'energia potenziale di interazione è praticamente nulla, quindi il bilancio energetico coinvolge l'energia cinetica delle particelle prima e dopo e una quantità Q chiamata energia dissipata.
Per le due sfere di massa in collisione M1 e M2, il bilancio energetico prima e dopo l'urto è scritto come segue:
½ M1 V1^ 2 + ½ M2 V2^ 2 = ½ M1 V1 '^ 2 + ½ M2 V2 '^ 2 + Q
Quando le forze di interazione durante la collisione sono puramente conservative, accade che il energia cinetica totale delle particelle in collisione si conserva, cioè è lo stesso prima e dopo l'urto (Q = 0). Quando ciò accade, si dice che la collisione sia perfettamente elastica..
In caso di urti elastici, nessuna energia viene dissipata. Inoltre, il coefficiente di restituzione è conforme a: e = 1.
Al contrario, nelle collisioni anelastiche Q ≠ 0 e 0 ≤ e < 1. Sabemos, por ejemplo, que la colisión de las bolas de billar no es perfectamente elástica porque el sonido que se emite durante el impacto es parte de la energía disipada.
Affinché un problema di collisione sia perfettamente determinato, è necessario conoscere il coefficiente di restituzione, o in alternativa la quantità di energia dissipata durante l'urto.
Il coefficiente di restituzione dipende dalla natura e dal tipo di interazione tra i due corpi durante l'urto..
Da parte sua, la velocità relativa dei corpi prima dell'urto definirà l'intensità dell'interazione e quindi la sua influenza sul coefficiente di restituzione..
Per illustrare come viene calcolato il coefficiente di restituzione di una collisione prenderemo un semplice caso:
Supponiamo la collisione di due sfere di masse M1 = 1 kg Y M2 = 2 kg muoversi su una rotaia diritta senza attrito (come in figura 1).
La prima sfera colpisce con velocità iniziale V1 = 1 m / s sul secondo che è originariamente a riposo, cioè V2 = 0 m / s.
Dopo la collisione continuano a muoversi in questo modo: il primo si ferma (V1 '= 0 m / s) e il secondo si sposta a destra con velocità V2 '= 1/2 m / s.
Per calcolare il coefficiente di restituzione in questa collisione applichiamo la relazione:
V1 ' - V2 ' = -e ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2 .
Nella collisione unidimensionale delle due sfere della sezione precedente è stato calcolato il loro coefficiente di restituzione, risultando e = ½ .
Poiché e ≠ 1 l'urto non è elastico, cioè l'energia cinetica del sistema non viene conservata e c'è una certa quantità di energia dissipata Q (ad esempio riscaldamento delle sfere dovuto all'urto).
Determina il valore dell'energia dissipata in Joule. Calcola anche la frazione percentuale di energia dissipata.
L'energia cinetica iniziale della sfera 1 è:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
mentre quella della sfera 2 è zero perché inizialmente è a riposo.
Allora l'energia cinetica iniziale del sistema è Ki = ½ J.
Dopo l'urto, solo la seconda sfera si muove con velocità V2 '= ½ m / s, quindi l'energia cinetica finale del sistema sarà:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
Cioè, l'energia dissipata nella collisione è:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
E la frazione di energia dissipata in questa collisione viene calcolata come segue:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5 vale a dire che il 50% dell'energia del sistema è stato dissipato a causa dell'urto anelastico il cui coefficiente di restituzione è 0,5.
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