Il assiomi di probabilità sono proposizioni matematiche che si riferiscono alla teoria della probabilità, che non meritano la prova. Gli assiomi furono stabiliti nel 1933 dal matematico russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) nella sua opera Fondamenti di teoria della probabilità e pose le basi per lo studio matematico della probabilità.
Quando si esegue un certo esperimento casuale ξ, lo spazio campionario E è l'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento, chiamato anche eventi. Ogni evento è indicato come A e P (A) è la probabilità che si verifichi. Quindi Kolmogorov ha stabilito che:
-Assioma 1 (non negatività): la probabilità che si verifichi qualsiasi evento A è sempre positiva o nulla, P (A) ≥0. Quando la probabilità di un evento è 0, viene chiamato evento impossibile.
-Axiom 2 (certezza): ogni volta che un evento che appartiene a E, la sua probabilità di accadimento è 1, che possiamo esprimere come P (E) = 1. È ciò che è noto come a certo evento, poiché quando si conduce un esperimento, con ogni certezza c'è un risultato.
-Assioma 3 (aggiunta): nel caso di due o più eventi incompatibili a due a due, denominato A1, PERDue, PER3…, La probabilità che si verifichi l'evento A.1 più la ADue più la A3 e così via, è la somma delle probabilità che ciascuna avvenga separatamente.
Questo è espresso come: PAPÀ1 U ADue U A3 U…) = P (A1) + P (ADue) + P (A3) + ...
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Gli assiomi della probabilità sono ampiamente utilizzati in una moltitudine di applicazioni. Per esempio:
Una puntina da disegno o virata viene lanciata in aria, e quando cade a terra c'è la possibilità di atterrare con il punto in alto (U) o con il punto in basso (D) (non prenderemo in considerazione altre possibilità). Lo spazio campionario di questo esperimento è costituito da questi eventi, quindi E = U, D.
Applicando gli assiomi abbiamo:
P (E) = 1 (Assioma 2)
Ma P (E) = P (U) + P (D) (Assioma 3), perché questi eventi sono reciprocamente incompatibili o disgiunti. La puntina da disegno non cade con la punta verso l'alto o verso il basso contemporaneamente, è l'una o l'altra, ma non entrambe, poiché non vengono prese in considerazione altre possibilità. Poi:
P (U) + P (D) = 1
P (U) = 1 - P (D)
Se è ugualmente probabile che atterri punta verso l'alto o verso il basso, P (U) = P (D) = ½ (Assioma 1). Tuttavia, è possibile che la struttura e il design della puntina da disegno abbiano maggiori probabilità di cadere in un modo o nell'altro. Ad esempio, potrebbe essere quello P (U) = ¾ mentre P (D) = ¼ (Assioma 1).
Si noti che in entrambi i casi, la somma delle probabilità dà 1. Tuttavia, gli assiomi non indicano come assegnare le probabilità, almeno non completamente. Ma affermano che sono numeri compresi tra 0 e 1 e che, come in questo caso, la somma di tutto è 1.
Gli assiomi della probabilità non sono un metodo per assegnare il valore della probabilità. Per questo ci sono tre opzioni compatibili con gli assiomi:
Ad ogni evento viene assegnata la stessa probabilità di accadimento, quindi la probabilità di accadimento è definita come:
P (A) = numero di casi favorevoli all'evento A / numero di casi possibili
Ad esempio, qual è la probabilità di pescare un asso da un mazzo di carte francesi? Il mazzo ha 52 carte, 13 di ogni seme e ci sono 4 semi. Ogni seme ha 1 assi, quindi in totale ci sono 4 assi:
P (as) = 4/52 = 1/13
La regola di Laplace è limitata a spazi campionari finiti, dove ogni evento è ugualmente probabile.
Qui l'esperimento deve essere ripetibile, poiché il metodo si basa sull'esecuzione di un gran numero di ripetizioni..
Facciamo i ripetizioni dell'esperimento ξ, di cui troviamo che n è il numero di volte che si verifica un determinato evento A, quindi la probabilità che questo evento si verifichi è:
P (A) = limio → ∞ (nessuno dei due)
Dove n / i è la frequenza relativa di un evento.
Definire P (A) in questo modo soddisfa gli assiomi di Kolmogorov, ma ha lo svantaggio di dover eseguire molti test affinché la probabilità sia appropriata.
Una persona o un gruppo di persone può concordare di assegnare la probabilità a un evento, attraverso il proprio giudizio. Questo metodo ha lo svantaggio che persone diverse possono assegnare probabilità diverse allo stesso evento..
Nell'esperimento del lancio simultaneo di 3 monete oneste, ottieni le probabilità degli eventi descritti:
a) 2 teste e una coda.
b) 1 testa e due code
c) 3 croci.
d) Almeno 1 faccia.
Le teste sono indicate con C e le code con X. Ma ci sono diversi modi per ottenere due teste e una coda. Ad esempio, le prime due monete possono portare a testa e la terza a croce. Oppure il primo può cadere testa, il secondo croce e il terzo testa. E infine il primo può essere croce e le rimanenti teste.
Per rispondere alle domande è necessario conoscere tutte le possibilità, che sono descritte in uno strumento chiamato Diagramma ad albero o albero delle probabilità:
La probabilità che una moneta esca testa è ½, lo stesso vale per le code, poiché la moneta è onesta. Nella colonna di destra sono elencate tutte le possibilità che ha il lancio, ovvero lo spazio campionario.
Dallo spazio campionario vengono scelte le combinazioni che rispondono all'evento richiesto, poiché l'ordine in cui compaiono i volti non è importante. Ci sono tre eventi favorevoli: CCX, CXC e XCC. La probabilità che ogni evento accada è:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
Lo stesso accade per gli eventi CXC e XCC, ognuno ha una probabilità di 1/8 di accadere. Quindi la probabilità di ottenere esattamente 2 teste è la somma delle probabilità di tutti gli eventi favorevoli:
P (2 lati) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Trovare la probabilità che si verifichino esattamente due incroci è un problema analogo al precedente, ci sono anche tre eventi favorevoli presi dallo spazio campionario: CXX, XCX e XXC. Perciò:
P (2 croci) = 3/8 = 0,375
Intuitivamente sappiamo che la probabilità di ottenere 3 croci (o 3 teste) è inferiore. In questo caso l'evento ricercato è XXX, in fondo alla colonna di destra, la cui probabilità è:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.
Si richiede di ottenere almeno 1 faccia, questo significa che possono uscire 3 facce, 2 facce oppure 1 faccia. L'unico evento incompatibile con questo è quello in cui escono 3 code, la cui probabilità è 0,125. Pertanto la probabilità ricercata è:
P (almeno 1 testa) = 1 - 0,125 = 0,875.
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