Il analisi dimensionale È uno strumento ampiamente utilizzato in diversi rami della scienza e dell'ingegneria per comprendere meglio i fenomeni che comportano la presenza di diverse grandezze fisiche. Le grandezze hanno dimensioni e da queste si ricavano le diverse unità di misura.
L'origine del concetto di dimensione si trova nel matematico francese Joseph Fourier, che è stato colui che l'ha coniato. Fourier capì anche che affinché due equazioni siano confrontabili, devono essere omogenee rispetto alle loro dimensioni. Cioè, i metri non possono essere aggiunti ai chilogrammi.
Pertanto, l'analisi dimensionale è responsabile dello studio delle grandezze, dimensioni e omogeneità delle equazioni fisiche. Per questo motivo, è spesso utilizzato per verificare relazioni e calcoli, o per costruire ipotesi su domande complicate che, in seguito, possono essere testate sperimentalmente..
In questo modo, l'analisi dimensionale è uno strumento perfetto per rilevare errori nei calcoli verificando la congruenza o incongruenza delle unità in essi utilizzate, ponendo particolare attenzione alle unità dei risultati finali.
Inoltre, l'analisi dimensionale viene utilizzata per progettare esperimenti sistematici. Consente di ridurre il numero di esperimenti necessari, nonché di facilitare l'interpretazione dei risultati ottenuti.
Una delle basi fondamentali dell'analisi dimensionale è che è possibile rappresentare qualsiasi quantità fisica come prodotto delle potenze di una quantità minore, dette quantità fondamentali, da cui derivano le rimanenti..
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In fisica, le quantità fondamentali sono considerate quelle che consentono agli altri di esprimersi in funzione di queste. Per convenzione sono stati scelti: lunghezza (L), tempo (T), massa (M), intensità della corrente elettrica (I), temperatura (θ), intensità della luce (J) e quantità di sostanza (N).
Al contrario, le altre sono considerate quantità derivate. Alcuni di questi sono: area, volume, densità, velocità, accelerazione, tra gli altri..
Una formula dimensionale è definita come l'uguaglianza matematica che presenta la relazione tra una quantità derivata e i fondamentali.
Esistono varie tecniche o metodi di analisi dimensionale. Due dei più importanti sono i seguenti:
Rayleigh, che insieme a Fourier è stato uno dei precursori dell'analisi dimensionale, ha sviluppato un metodo diretto e molto semplice che ci permette di ottenere elementi adimensionali. In questo metodo vengono seguiti i seguenti passaggi:
1- Viene definita la funzione carattere potenziale della variabile dipendente.
2- Ogni variabile viene modificata dalle dimensioni corrispondenti.
3- Vengono stabilite le equazioni della condizione di omogeneità.
4- Le incognite n-p sono corrette.
5- Gli esponenti calcolati e fissati nell'equazione del potenziale vengono sostituiti.
6- I gruppi di variabili vengono spostati per definire i numeri adimensionali.
Questo metodo è basato sul teorema di Buckingham o teorema pi, che afferma quanto segue:
Se esiste una relazione dimensionale omogenea tra un numero "n" di quantità fisiche o variabili dove sono incluse "p" diverse dimensioni fondamentali, esiste anche una relazione dimensionale omogenea tra n-p, gruppi adimensionali indipendenti.
Il principio di Fourier, noto anche come principio di omogeneità dimensionale, influisce sulla corretta strutturazione delle espressioni che legano algebricamente grandezze fisiche.
È un principio che ha consistenza matematica e afferma che l'unica opzione è sottrarre o aggiungere quantità fisiche che sono della stessa natura. Pertanto, non è possibile aggiungere una massa con una lunghezza, né un tempo con una superficie, ecc..
Allo stesso modo, il principio afferma che, affinché le equazioni fisiche siano dimensionalmente corrette, il totale dei termini dei membri dei due lati dell'uguaglianza deve avere la stessa dimensione. Questo principio permette di garantire la coerenza delle equazioni fisiche.
Il principio di somiglianza è un'estensione del carattere di omogeneità dimensionale delle equazioni fisiche. Si afferma come segue:
Le leggi fisiche rimangono invariate di fronte ai cambiamenti nelle dimensioni (dimensione) di un evento fisico nello stesso sistema di unità, sia che si tratti di cambiamenti di natura reale o immaginaria..
La più chiara applicazione del principio di similarità si ha nell'analisi delle proprietà fisiche di un modello realizzato su scala minore, per poi utilizzare i risultati nell'oggetto a grandezza reale.
Questa pratica è essenziale in campi come la progettazione e la fabbricazione di aeroplani e navi e in grandi opere idrauliche.
Tra le tante applicazioni dell'analisi dimensionale si possono evidenziare le seguenti..
- Individuare possibili errori nelle operazioni eseguite
- Risolvi problemi la cui risoluzione presenta una difficoltà matematica insormontabile.
- Progettare e analizzare modelli su piccola scala.
- Fare osservazioni su come le possibili modifiche influenzano un modello.
Inoltre, l'analisi dimensionale è usata abbastanza frequentemente nello studio della meccanica dei fluidi..
La rilevanza dell'analisi dimensionale nella meccanica dei fluidi è dovuta alla difficoltà di stabilire equazioni in determinati flussi, nonché alla difficoltà di risolverle, motivo per cui è impossibile ottenere relazioni empiriche. Per questo motivo è necessario passare al metodo sperimentale.
Trova l'equazione dimensionale per velocità e accelerazione.
Poiché v = s / t, è vero che: [v] = L / T = L ∙ T-1
Allo stesso modo:
a = v / t
[a] = L / TDue = L ∙ T-Due
Determina l'equazione dimensionale per la quantità di moto.
Poiché la quantità di moto è il prodotto di massa e velocità, è vero che p = m ∙ v
Perciò:
[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-Due
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